Seminar - Einführung in die Algebraische K-Theorie (SoSe 2015)

Seminarbeschreibung (siehe den Aushang).

Organisatorisches:

• Termin: Mittwochs 10-12 Uhr (c.t.)
• Raum: M006
• Informationen im Vorlesungsverzeichnis

Vorträge:

1. Projektive Moduln (15.4. - )
   Definition eines projektiven Moduls [1, Definition 1.1.1]. Äquivalente Definition als Summand eines freien Moduls [1, Theorem 1.1.2].
   Endlich erzeugte projektive Moduln sind lokal frei und man kann dies sogar auf eine offene Umgebung ausdehnen [2, Corollary 2.2.2] [1, Theorem 1.3.11].
2. K0 von Ringen (22.4. - )
   Grothendieck Konstruktion [1, Theorem 1.1.3], K0 eines Körpers [1, Example 1.1.6], Eilenberg-Schwindel [1, Exercise 1.1.8],
   K0 aus Idempotenten [1, Kapitel 1.2] und Morita-Äquivalenz [1, Theorem 1.2.4].
3. K0 von Hauptidealringen und reduziertes K0 (29.4. - )
   Jeder endlich erzeugte projektive Modul über einem Hauptidealring ist frei [1, Theorem 1.3.1].
   Der Rang eines endlich erzeugten projektiven Moduls [1, Proposition 1.3.12] und die reduzierte K0-Gruppe [1, Definition 1.3.2]
4. K0 von Dedekindringen (6.5. - )
   Definition eines Dedekindrings [1, Definition 1.4.2] und äquivalente Charakterisierung als maximal eindimensionaler,
   noetherscher und normaler Integritätsring. Die Klassengruppe [1, Definition 1.4.3] und deren Isomorphie zum reduzierten K0 [1, Theorem 1.4.12].
5. Relatives K0 und Ausschneidung (13.5. - )
   Definition der relativen K0-Gruppe [1, Definition 1.5.3], Existenz einer kurzen exakten Sequenz [1, Theorem 1.5.5] und Ausschneidung [1, Satz 1.5.9].
6. Der Satz von Swan (20.5. - )
   Topologische Vektorbündel [1, Kapitel 1.6] und der Satz von Swan [1, Theorem 1.6.3], [3], [6].
7. K1 von Ringen (27.5. - )
   Whiteheads Lemma [1, Proposition 2.1.4], Definition von K1 [1, Definition 2.1.5], K1 eines Körpers ist isomorph zu dessen Einheiten [1, Proposition 2.2.2]
   und dies gilt sogar für Euklidische Ringe [1, Theorem 2.3.2]
8. Gruppen(ko)homologie und zentrale Erweiterungen (3.6. - )
   [1, Kapitel 4.1].
9. Gruppenkohomologie als derivierte Funktorkohomologie (10.6. - )
   [...]
10. K2 und die Steinberg-Gruppe (17.6. - )
    Relationen zwischen Elementarmatrizen [1, Lemma 2.1.2] und die Steinberg-Gruppe [1, Definition 4.2.1]. Definition von K2 [1, Definition 4.2.2]
    und die Isomorphie zu H2(E(R),Z) [1, Corollary 4.2.10]. Das Steinberg-Symbol [1, Definition 4.2.12] und wesentliche Eigenschaften davon [1, Theorem 4.2.17].
11. Milnor K-Theorie (24.6. - )
    Fortsetzung der exaten Folge [1, Theorem 1.5.5] aus dem 5. Vortrag [1, Theorem 4.3.1]. K2 eines Körpers ist erzeugt von den Steinberg-Symbolen [1, Theorem 4.3.3]
    und dies ist eine Motivation der Definition von Milnor-K-Theorie [4, Abschnitt 1].
12. Das zahme Symbol und diskrete Bewertungsringe (1.7. - )
    K2 eines endlichen Körpers veschwindet, diskrete Bewertungsringe und das zahme Symbol [4, Lemma 2.1], die spaltende exakte Milnor-Folge [4, Theorem 2.3].
13. Der Satz von Quillen-Suslin (8.7. - )
    In diesem Vortrag soll ein Beweis des Satzes von Quillen-Suslin skizziert werden.
    Dieser Satz besagt, dass jeder endlich erzeugte projektive Modul ueber einem Polynomring eines Körpers schon frei ist.
14. Ausblick (15.7. - Florian Strunk)
    Ausrechnung eines speziellen K0s, Höhere K-Gruppen, G0 ist A1-invariant und K0=G0 für reguläre Ringe, Serres Abspaltungssatz [7, Theorem 3.18.].

Literatur: