Seminar - Darstellungstheorie endlicher Gruppen (WS 15/16)

Seminarbeschreibung (siehe den Aushang).

Organisatorisches:

• Termin: Montags 16-18 Uhr (s.t.)
• Raum: M102
• Informationen im Vorlesungsverzeichnis

Vorträge:

1. Gruppentheoretische Grundbegriffe und die Drehgruppe des Würfels (12.10. - )
   Motivation für das Studium endlicher Gruppen: Galoistheorie (kurz) und Auflösbarkeit, Definition einer Gruppenoperation, Standgruppe (= Stabilisator = Isotropiegruppe), Bahn, Eigenschaften: treu, frei, transitiv und regulär, Beispiele: Triviale Operation, Multiplikationsoperation, Nebenklassenoperation und Konjugationsoperation, Homogene Räume, Bahnengleichung, Satz [4, 3.4.8], Satz [4, 3.4.9] ("Counting Lemma") und Anwendung [4, 3.4.12]: Zwei Permutationen einer endlichen Menge sind genau dann konjugiert, wenn sie die gleiche Zykelpartition haben, Klassifikation aller Gruppen bis auf Isomorphie bis zur Ordnung 7, die Drehgruppe des Würfels.
   
   
2. Sylow Sätze und Konsequenzen (19.10. - )
   Die Sylowsätze sind ein wichtiges Hilfsmittel, um die Struktur endlicher Gruppen zu verstehen. Beweis der Sylowsätze [4, 3.5], Anwendung: Es gibt keine nicht-abelschen einfachen Gruppen der Ordung <60.
   
   
3. Lineare Darstellungen und das Lemma von Schur (26.10. - )
   Lineare Darstellungen, also Gruppenhomomorphismen nach GL(V) für einen k-Vektorraum V, sind auch ein wichtiges Hilfsmittel, um die Struktur endlicher Gruppen zu verstehen. Damit beschäftigt sich der gesamte folgende Teil des Seminars. Gruppen sind im Folgenden immer endlich. Inhalt von [3, Abschnitt 1.1]: Definition einer linearen Darstellung und einer Matrixdarstellung einer Gruppe, Äquivalenz von Darstellungen [3, Proposition 1.1.1], Äquivariante Abbildungen, Unterdarstellungen, Irreduzible Darstellungen, Unzerlegbare Darstellungen [4, Kapitel 9], Lemma von Schur [3, 1.1.2], Umformulierung des Lemmas von Schur: Für eine irreduzible Darstellung V ist Hom_G(V,V) eine Divisionsalgebra und isomorph zu k, falls k algebraisch abgeschlossen ist [3, 1.1.5], eine irreduzible Darstellung einer abelschen Gruppe ueber einem algebraisch abgeschlossenen Körper ist eindimensional [3, 1.1.3], Beispiele [3, 1.1.6-1.1.8].
   
   
4. Die Gruppenalgebra und der Satz von Maschke (02.11. - )
   Definition der Gruppenalgebra (als Vektorraum der Abbildungen von G nach k mit Faltungsprodukt), die reguläre Darstellung mit Beispiel Z/3. Im Folgenden und nicht-kommutativen Fall heißt "Ideal", "Modul", etc. immer "Linksideal", "Linksmodul", etc., Beispiel [3, 1.7.1], Irreduzible Moduln, Darstellungen entsprechen Moduln über der Gruppenalgebra [3, Abschnitt 1.7] und insbesondere liefert ein Ideal der Gruppenalgebra eine Darstellung. Diese Darstellung ist irreduzibel ist, genau dann, wenn das Ideal minimal (bzgl. Inklusion) und nichttrivial ist. (Eine irreduzible Darstellung liefert auch ein (anderes!) maximales Ideal der Gruppenalgebra.) Irreduzible Darstellungen entsprechen einfachen Moduln, Beispiel [3, 1.7.2] (ausführlich!), evtl. noch Beispiele aus [5], Definition: Ein halbeinfacher Modul ist eine direkte Summe einfacher Moduln. Fakt [7, Proposition 8.42]: Ein Modul ist halbeinfach genau dann, wenn jeder Untermodul ein direkter Summand ist. Definition: Ein Ring ist halbeinfach, wenn er als Modul über sich selbst halbeinfach ist. Da Untermoduln eines Ringes Idealen entsprechen, sind diese einfach genau dann, wenn sie ein minimales nichttriviales Ideal sind. Also kann man einen halbeinfachen Ring schreiben als direkte Summe minimaler nichttrivialer Ideale. Fakt [7, Proposition 8.48]: Ein Ring ist halbeinfach genau dann, wenn jeder Modul darüber halbeinfach ist. Satz von Maschke: Falls k gute Charakteristik hat, ist die Gruppenalgebra halbeinfach. Insbesondere zerfällt die Gruppenalgebra bei guter Charakteristik von k also in eine direkte Summe minimaler nichttrivialer Ideale (also irreduzibler Darstellungen).
   
   
5. Halbeinfache Algebren und der Satz von Artin-Wedderburn (09.11. - )
   Ein halbeinfacher Ring ist noethersch und daher gibt es eine Zerlegung in endlich viele minimale und nichttriviale Ideale. Noch einmal Lemma von Schur [7, Theorem 8.52]: Jeder Homomorphismus zwischen zwei einfachen Moduln ist entweder Null oder ein Isomorphismus und hom_R(M,M) ist ein Divisionsring. Folgerung [7, Proposition 8.54]: Jeder einfache Modul über einem halbeinfachen Ring ist isomorph zu einem der minimalen und nichttrivialen Ideale in einer Zerlegung. Bis auf Umordung und Isomorphie lässt sich ein halbeinfacher Ring eindeutig in (endlich viele) minimale und nichttriviale Ideale, die "Komponenten", zerlegen, Beispiel [7, 8.55], Satz von Artin-Wedderburn (ohne Beweis) [7, 8.64]: Ein halbeinfacher Ring ist auf eindeutige Weise ein endliches direktes Produkt über Matrixringe von Divisionsringen. Folgerung [7, 8.58]: Ein kommutativer Ring ist halbeinfach genau dann, wenn er ein direktes Produkt endlich vieler Körper ist. Anwendung des Satzes von Artin-Wedderburn (mit Vorgriff auf den kleinen Satz von Wedderburn) [7, 8.72]: Ein Ring mit endlicher Einheitengruppe ungerader Ordnung hat abelsche Einheitengruppe deren Ordnung ein endliches Produkt aus (2^(irgendwas)-1) ist. Insbesondere gibt es keinen Ring mit genau fünf Einheiten!
   
   
6. Eindimensionale Darstellungen und Charaktere (16.11. - )
   Eine eindimensionale Darstellung ist per Definition ein Gruppenhomomorphismus von G in die Einheitengruppe k-{0} von k. Eine eindimensionale Darstellung ist natürlich irreduzibel. Beispiel einer irreduziblen und nicht-eindimensionalen Darstellung. Aus den Ergebnissen des vorherigen Vortrags (5) folgt, dass eine endliche abelsche Gruppe maximal |G| verschiedene irreduzible Darstellungen hat und wenn k algebraisch abgeschlossen ist, sind es genau |G| verschiedene irreduzible Darstellungen. Ist k algebraisch abgeschlossen und G abelsch, gibt es also genau |G| verschiedene eindimensionale Darstellungen nach Vortrag (3). Eindimensionale Darstellungen von G entsprechen eindimensionalen Darstellungen von G/K(G), wobei K(G) die Kommutatorgruppe bezeichne. Folgerung: Eine endliche Gruppe hat über einem algebraisch abgeschlossenen Körper genau |G/K(G)| eindimensionale Darstellungen. Jede Divisionsalgebra über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k ist gleich k (Beweis) und daher liefert der Satz von Artin-Wedderburn die Dimensionsformel: |G| ist gleich der endlichen Summe n_i^2, wobei die n_i die Dimensionen aller irreduziblen Darstellungen sind.
   
   
7. Die Spur einer Matrix, Charaktere und Klassenfunktionen (23.11. - )
   Im Folgenden sind alle Darstellungen endlichdimensional. Diese korrespondieren zu endlich erzeugten Moduln über der Gruppenalgebra. Der Charakter χ_p einer Darstellung p ist eine Abbildung von G nach k (also ein Element der Gruppenalgebra) und ist definiert an g als die Spur der linearen Abbildung p(g). Die Spur einer linearen Abbildung ist wohldefiniert und isomorphe Darstellungen haben den gleichen Charakter. Der Charakter einer eindimensionalen Darstellung faktorisiert über k-{0} und ist somit "gleich" der Darstellung. Charaktere sind additiv, d.h. der Charakter der Darstellung p⊕q ist χ_p+χ_q und hat k gute Chrakteristik ist also jeder Charakter die endliche Summe irreduzibler Charaktere. Charakter von p⊗q. Die Summe der Eigenwerte einer quadratischen Matrix ist gleich ihrer Spur (Beweis). Folgerung: Ist k der Körper der komplexen Zahlen, so ist χ(g) das Komplex-Konjugierte von χ(g^(-1)). Eine idempotente Matrix (d.h. A^2=A) ist diagonalisierbar und ihre Eigenwerte sind 0 oder 1. Daher ist die Spur einer idempotenten Matrix gleich ihrem Rang. Eine Klassenfunktion ist eine Abbildung f von G nach k die auf Konjugationsklassen konstant ist. Die Klassenfunktionen sind ein Untervektorraum Cl(G,K) der Gruppenalgebra und mit punktweiser Multiplikation ein Ring. Ein Charakter ist eine Klassenfunktion.
   
   
8. Die Orthogonalitätsrelation I (30.11. - )
   Auf der Gruppenalgebra k[G] ist durch ⟨a,b⟩=1/|G|∑_g a(g)b(g^(-1)) eine symmetrische Bilinearform definiert. Beweis der Orthogonalitätsrelation: Sind p und q zwei irreduzible Darstellungen, so ist ⟨χ_p,χ_q⟩=1 falls p isomorph ist zu q und ⟨χ_p,χ_q⟩=0 sonst. Folgerung: Zwei Darstellungen sind isomorph genau dann, wenn sie den gleichen Charakter haben. Weitere Folgerung: Die irreduziblen Charaktere bilden eine Orthonormalbasis des Vektorraums der Klassenfunktionen Cl(G,K). Da die Dimension von Cl(G,K) die Anzahl der Konjugationsklassen von G ist folgt: Die Anzahl der irreduziblen Darstellungen ist gleich der Anzahl der Konjugationsklassen von G [3, 2.2.5].
   
   
9. Die Orthogonalitätsrelation II (07.12. - )
   Spalten-Orthogonalitätsrelation [7, Theorem 8.135], andere Sichtweise der (Zeilen-)Orthogonalitaetsrelation, Erklärung der Gleichung ⟨p,q⟩=⟨χ_p,χ_q⟩ [4, Satz 9.3.4] [3,(2.5)].
   
   
10. Ganze algebraische Zahlen und Kreisteilung (14.12. - )
    Ganze algebraische Zahlen, x ist ganz ueber Z genau dann, wenn Z[x] ein endlich erzeugter Z-Modul ist, in jedem kommutativen Ring mit Eins bilden die über Z ganzen Elemente einen Unterring, Ist χ ein Charakter, so ist jedes χ(g) ganz über Z, Folgerung: Für eine irreduzible n-dimensionale Darstellung mit Charakter χ ist die Summe 1/n*∑ χ(h) über eine Klasse konjugerter Elemente h ganz über Z, Folgerung: Die Dimension einer irreduziblen Darstellung ist ein Teiler der Gruppenordnung, Kurze Zusammenfassung von hier relevanten Ergebnissen zu Kreisteilungskörpern.
    
    
11. Anwendung: Der pq-Satz von Burnside (21.12. - )
    Ausführlicher Beweis des pq-Satzes von Burnside: Jede Gruppe der Ordnung p^a*q^b für Primzahlen p und q ist auflösbar. Erwähnung des Satzes von Feit-Thompson (natürlich ohne Beweis).
    
    
12. Der kleine Satz von Wedderburn (11.01. - )
    Kleiner Satz von Wedderburn: Jeder endliche Divisionsring ist ein Körper [7, Theorem 8.23]. Jede endliche Untergruppe der mutiplikativen Gruppe eines Körpers ist zyklisch. Folgerung aus beiden Sätzen: Jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Divisionsrings ist zyklisch, falls dieser positive Charakteristik hat.
    
    
13. Charaktertafeln I (18.01. - )
    Beispiele: Ausrechnen der Charaktertafeln von Z/n, S_3 und der kleinschen Vierergruppe. Die Charaktertafel bestimmt die Ordnung der Gruppe und den Isomorphietyp abelscher Gruppen [1, Abschnitt 7.7]. Beispiel zweier nicht-isomorpher Gruppen mit gleicher Charaktertafel (z.B. D4 und Q8). Beispiele [5, Kapitel 16].
    
    
14. Charaktertafeln II (25.01. - )
    Ausrechnen weiterer Charaktertafeln, Permutationscharaktere [5, Abschnitt 13], mehr zu aus der Charaktertafel ablesbaren Eigenschaften der Gruppe, Genaueres folgt noch.
    
    
15. Burnside's Lemma und Anwendungen (01.02. - )
    Beweis von Burnside's Lemma [7, Theorem 8.137]. Genaue Diskussion der Anwendungen [7, nach Theorem 2.113], [7, Example 2.114].
    
    

Literatur: