In dieser Vorlesung werden wir die Grundlagen der Algebraischen Geometrie behandeln.
Algebraische Geometrie untersucht die Nullstellenmengen von Systemen von Polynomgleichungen.
Polynomgleichungen spielen fast überall in der Mathematik eine wesentliche Rolle und werden schon seit Jahrthunderten erforscht.
Über dem Körper der reellen oder der komplexen Zahlen haben die Nullstellenmengen dieser Gleichungen eine offensichtliche geometrische Interpretation.
Somit lassen sich algebraische Eigenschaften und das geometrische Bild miteinander vergleichen und nicht nur Vorteile der einen Sichtweise für Beweise in der anderen benutzen sondern oft auch Methoden der Algebraischen Topologie oder der Differentialtopologie auf algebraische Probleme anwenden.
Ihre besondere Stärke entfaltet die Algebraische Geometrie aber, wenn man Lösungen von Polynomgleichungen über anderen Ringen wie zum Beispiel dem Ring der ganzen Zahlen untersucht:
Obwohl diese Nullstellenmengen keine direkte geometrische Beschreibung haben, lassen sie sich trotzdem einem geometrischen Objekt, einem "Schema" - einer Art algebraischer Mannigfaltigkeit - zuordnen, das geometrisch untersucht werden kann.
Eine Polynomgleichung, die beispielsweise in der Zahlentheorie in der letzten Jahrzehnten besondere Aufmerksamkeit erfahren hat, ist die Fermatsche Gleichung x^n+y^n=z^n.
Der Beweis von Fermats letztem Satz durch Wiles und Taylor benutzt grundlegend die Methoden der Algebraischen Geometrie.
Der Inhalt dieser Vorlesung wird eine Einführung in die Theorie der Schemata sein.
Hierbei werden wir uns im Wesentlichen an der Standardliteratur zu diesem Gebiet orientieren.