52. AUFGABE DER WOCHE

Sei n eine positive natürliche Zahl. Offenbar ist ℝ \ ℚ nicht wegzusammenhängend. Die Frage ist nun: Ist ℝ^{2} \ ℚ^{2} wegzusammenhängend?

(Falls ja, gilt also für ein beliebiges x ∈ ℝ^{2} \ ℚ^{2}, dass π_{0}(ℝ^{2} \ ℚ^{2}, x) = 0. Gilt auch π_{1}(ℝ^{3} \ ℚ^{3}, x) = 0 für x ∈ ℝ^{3} \ ℚ^{3} oder allgemein für ein beliebiges natürliches n ≥ 2, dass π_{m}(ℝ^{n} \ ℚ^{n}, x) = 0 für alle natürlichen m ≤ n − 2? Kann es sein, dass π_{n−1}(ℝ^{n} \ ℚ^{n}, x) oder π_{n}(ℝ^{n} \ ℚ^{n}, x) auch trivial ist?)

Die ’Aufgabe der Woche’ ist eine inoffizielle Belustigung. Für den Urheber der ersten Lösung liegt in V4-206 ein namhafter Schokoriegel bereit. Vorschläge für schöne neue Aufgaben werden dankend aber schokoriegelfrei in V4-206 angenommen. Den Lösungsstatus einer Aufgabe, sowie die normalerweise montags neu erscheinende Aufgabe findet man unter http://www.math.unibielefeld.de/∼florian/adw/ .