38. AUFGABE DER WOCHE

Seien n und m positive natürliche Zahlen und d eine Metrik auf ℝ^{n}. Für eine endliche Menge S ⊆ ℝ^{n} setze

A(S) = |{d(s_{1}, s_{2}) | s_{1}, s_{2} ∈ S und s_{1} ≠ s_{2}}|

als die Anzahl der von S definierten Abstände. Sei nun D(ℝ^{n}, d, m) die größte (Supremum) Mächtigkeit einer Menge S ⊆ ℝ^{n} mit A(S) = m, falls eine solche Menge S existiert und Null sonst.

Mit der euklidischen Metrik e sieht man zum Beispiel, daß D(ℝ^{n}, e, 1) = n + 1 und D(ℝ^{2}, e, 2) ≥ 5 (reg. Pentagon). Die Frage ist nun: Ist D(ℝ^{n}, e, m) stets endlich?

(Interessant sind auch die Fragen: Gibt es positive natürliche n und m, sodass D(ℝ^{n}, e, m) = 0? Was ist D(ℝ^{n}, e, 2)? Es gilt D(ℝ^{n}, e, 2) ≤ (n + 1)(n + 4)/2. Wie sieht D(X, d, m) bei anderen metrischen Räumen (X, d) (oder zumindest für X = ℝ^{n}) aus?)

Die ’Aufgabe der Woche’ ist eine inoffizielle Belustigung. Für den Urheber der ersten Lösung liegt in V4-206 ein namhafter Schokoriegel bereit. Vorschläge für schöne neue Aufgaben werden dankend aber schokoriegelfrei in V4-206 angenommen. Den Lösungsstatus einer Aufgabe, sowie die normalerweise montags neu erscheinende Aufgabe findet man unter http://www.math.unibielefeld.de/∼florian/adw/ .