30. AUFGABE DER WOCHE

Sei n eine positive natürliche Zahl. Eine Abbildung f : ℝ^{n} → ℝ heisse eine Polynomfunktion, falls ein Polynom g aus ℝ[X_{1}, ..., X_{n}] existiert, sodass f = Φ(g), wobei der Homomorphismus

Φ : ℝ[X_{1}, ..., X_{n}] → (ℝ^{n} → ℝ)

dadurch gegeben ist, dass für g ∈ ℝ[X_{1}, ..., X_{n}] die Abbildung Φ(g) definiert ist durch (x_{1}, ..., x_{n}) ↦ g(x_{1}, ..., x_{n}).

Sei nun f : ℝ^{n} → ℝ eine Abbildung, sodass für alle reellen x_{1}, ..., x_{n} die Abbildungen

f(x_{1}, ..., x_{i−1}, ·, x_{i+1}, ..., x_{n}) : ℝ → ℝ

mit i ∈ {1, ..., n} Polynomfunktionen sind. Ist dann f auch eine Polynomfunktion?

(Was passiert, wenn man ℝ durch einen endlichen Körper 𝔽_{p} ersetzt? Was passiert, wenn man ℚ betrachtet?)

Die ’Aufgabe der Woche’ ist eine inoffizielle Belustigung. Für den Urheber der ersten Lösung liegt in V4-206 ein namhafter Schokoriegel bereit. Vorschläge für schöne neue Aufgaben werden dankend aber schokoriegelfrei in V4-206 angenommen. Den Lösungsstatus einer Aufgabe, sowie die normalerweise montags neu erscheinende Aufgabe findet man unter http://www.math.unibielefeld.de/∼florian/adw/ .