22. AUFGABE DER WOCHE

Seien Q_{1}, Q_{2}, ... sich paarweise nicht überschneidende Quadrate in der euklidischen Ebene mit einer Gesamtfläche (d.h. Flächensumme) von Eins. Können diese Quadrate in ein Quadrat P in der euklidischen Ebene mit einer Fläche von Zwei gepackt werden, d.h. gibt es für jedes Q_{i} ein Quadrat Q′_{i} ⊂ P mit gleicher Seitenlänge, sodass sich die Quadrate Q′_{1}, Q′_{2}, ... ebenfalls paarweise nicht überschneiden?

Falls ja, funktioniert das auch, wenn P eine kleinere Fläche als Zwei hat? (Wie sieht es bei dem analogen Problem mit regulären n-Ecken aus?)

(Eine Menge Q von Punkten aus der euklidischen Ebene ℝ^{2} heisse ein Quadrat, wenn es einen Punkt (x, y) in ℝ^{2} und eine reelle Zahl r > 0 gibt, sodass Q = {(x′, y′) ∈ ℝ^{2} | max{|x − x′|, |y − y′|} ≤ r}. Man sagt, dass sich Quadrate Q und Q′ nicht überschneiden, falls Q̊ ∩ Q̊′ = ∅ gilt bzgl. der üblichen Topologie.)

Die ’Aufgabe der Woche’ ist eine inoffizielle Belustigung. Für den Urheber der ersten Lösung liegt in V4-206 ein namhafter Schokoriegel bereit. Vorschläge für schöne neue Aufgaben werden dankend aber schokoriegelfrei in V4-206 angenommen. Den Lösungsstatus einer Aufgabe, sowie die normalerweise montags neu erscheinende Aufgabe findet man unter http://www.math.unibielefeld.de/∼florian/adw/ .