116. AUFGABE DER WOCHE

Sei R ein kommutativer Ring mit Eins und 0 ≠ 1. Der Nullteilergraph

G(R) = (V (R), E(R))

von R hat die Ecken

V (R) = {a ∈ R \ {0} | ∃b ∈ R \ {0} : ab = 0}

und die Kanten

E(R) = {(a, b) ∈ R \ {0} × R \ {0} | a ≠ b ∧ ab = 0}.

Der Diameter diam(G) eines Graphen G = (V, E) ist die größte Länge eines kürzesten Weges zwischen zwei verschiedenen Ecken von G, also

diam(G) = sup{d(x, y) ∈ ℕ | x, y ∈ V ∧ x ≠ y}

wobei d(x, y) die kürzeste Länge eines Weges zwischen x und y bezeichne.

Man zeige, daß diam(G(R)) ≤ 3 gilt.

(Was kann man noch über den Nullteilergraphen eines Rings sagen?)

Die ’Aufgabe der Woche’ ist eine inoffizielle Belustigung. Für den Urheber der ersten Lösung liegt in 69/314 ein namhafter Schokoriegel bereit. Vorschläge für schöne neue Aufgaben werden dankend aber schokoriegelfrei in 69/314 angenommen. Den Lösungsstatus einer Aufgabe findet man unter http://www.mathematik.uniosnabrueck.de/staff/phpages/fstrunk/adw/Welcome.html.