110. AUFGABE DER WOCHE

Sei n eine positive natürliche Zahl. Gibt es eine größte Ordnung m(n) ∈ ℕ eines Elements aus GL_{n}(ℤ)? Falls ja, welche ist diese größte Ordnung und welches ist ein zugehöriges Element?

(Es wird also eine (n × n)-Matrix A mit ganzzahligen Einträgen gesucht, sodaß für eine natürliche Zahl m(n) die Matrix A^{m(n)} die Einheitsmatrix E_{n} ist, A^{m} ≠ E_{n} gilt für alle natürlichen Zahlen m mit 0 < m < m(n) und es für keine (n×n)-Matrix A′ mit ganzzahligen Einträgen eine größere natürliche Zahl m′ mit A^{′ m′} = E_{n} und A^{′ m} ≠ E_{n} für alle natürlichen Zahlen m mit 0 < m < m′ gibt. Kann man stets eine Matrix mit Einträgen aus {0, 1} finden, die die Ordnung m(n) hat?)

Die ’Aufgabe der Woche’ ist eine inoffizielle Belustigung. Für den Urheber der ersten Lösung liegt in V4-206 ein namhafter Schokoriegel bereit. Vorschläge für schöne neue Aufgaben werden dankend aber schokoriegelfrei in V4-206 angenommen. Den Lösungsstatus einer Aufgabe, sowie die normalerweise montags neu erscheinende Aufgabe findet man unter http://www.math.unibielefeld.de/∼florian/adw/ .